Разложение функций в ряды

5. Разложение функций в ряды#

5.1. Мотивировка#

Многие из вас уже знают про существование степенного ряда Тейлора. Однако, функции можно представлять не только полиномом, но и суммой периодических функций: синуса и косинуса. В данном пособии будет разобрано последнее из упомянутых выше разложений.

5.2. Ряд Фурье#

Пускай нам дана функция \(f(x)\), с периодом \(2 \pi\). Такое утверждение эквивалентно следующему: \(f(x) = f(x + 2 \pi)\).

5.2.1. Утверждение#

Пусть нам дана нам дана функция \(f(x)\), которая определена на промежутке \([-\pi,\pi]\). Если данная функция интегрируема на отрезке \([-\pi,\pi]\), то ее можно разложить в тригонометрический ряд Фурье.

\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ({a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx}})\]

где \(a_0, a_n, b_n\) - коэффициенты Фурье, задающиеся следующим образом:

\[a_o = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}\]

\[a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \cos{nx} dx}\]

\[b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \sin{nx} dx}\]

5.3. Вывод коэффициентов#

5.3.1. Математическая справка:#

Основы тригонометрии:
1. \(\sin{n\pi} = 0\)
2. \(\cos{n\pi} = (-1)^{n}\)
Условия ортогональности:
1. Интеграл \(\cos{nx}\) и \(\sin{nx}\) по периоду равен 0:
\[\int_{-\pi}^{\pi} {\cos{nx} dx} = \left. \frac{1}{n} \sin{nx} \right|_{-\pi}^{\pi} = 0\]

\[\int_{-\pi}^{\pi} {\sin{nx} dx} = \left. -\frac{1}{n} \cos{nx} \right|_{-\pi}^{\pi} = 0\]
1. Интеграл \(\sin{nx}\cos{mx}\) по периоду равен 0:
\[\int_{-\pi}^{\pi}{\sin{nx}\cos{mx}}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\sin(m-n)x + \sin(m+n)x)dx = 0\]

\[\sin{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)]\]
1. Интеграл \(\sin{mx} \sin{nx}\) по периоду:
\[\begin{split}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin{mx} \sin{nx}}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(m-n)x - \cos(m+n)x)dx = \begin{cases} \pi &{\text{если } m = n \neq 0} \\ 0 &\text{иначе}\end{cases}\end{split}\]

\[\sin{A}\sin{B} = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]\]
1. Интеграл \(\cos{mx} \cos{nx}\) по периоду:
\[\begin{split}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos{mx} \cos{nx}}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}(\cos(m-n)x + \cos(m+n)x)dx = \begin{cases} 2\pi &{\text{если } m = n = 0} \\ \pi &{\text{если } m = n \neq 0} \\0 &\text{иначе}\end{cases}\end{split}\]

\[\cos{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]\]

5.3.2. Получение коэффициентов#

По определению ряда Фурье

\[(*) f(x) = \frac{1}{2} a_0 + a_1\cos x + b_1\sin x **+ \dotsb + a_n \cos nx + b_n \sin x + \dotsb\]

То домножив правую и левую части равенства \((*)\) на \(\cos{nx}\) и интегрируя от \(-\pi\) до \(\pi\), получим

\[\chi_n = \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \cos{nx} dx} = \frac{1}{2} a_0 \int_{-\pi}^{\pi}{\cos{nx}dx} + a_1 \int_{-\pi}^{\pi}{\cos x \cos{nx} dx} + \dotsb\]

Заметим, что для \(n = 0\)

\[\chi_0 = \frac{1}{2} a_0 \int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{nx}dx} = \pi a_0 \Rightarrow a_o = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}\]

Для \(n \neq 0\)

\[\chi_n = a_n \int_{-\pi}^{\pi}{\cos^2{nx}dx} = \pi a_n \Rightarrow a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \cos{nx} dx}\]

Если же \((*)\) домножить на \(\sin{nx}\), то получим

\[\gamma_n = \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \sin{nx} dx} = \frac{1}{2} a_0 \int_{-\pi}^{\pi}{\sin{nx}dx} + a_1 \int_{-\pi}^{\pi}{\cos x \sin{nx} dx} + \dotsb\]

Тогда

\[\gamma_n = b_n\int_{-\pi}^{\pi}{\sin^2{nx} dx} = \pi b_n \Rightarrow b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x) \sin{nx} dx}\]

5.4. Теорема о сходимости ряда Фурье#

Если \(f(x)\) - переодическая функция с периодом, равным \(2\pi\) и \(f(x), f'(x)\) кусочно-непрерывны на отрезке \([-\pi, \pi]\), то ряд Фурье сходится. Сумма бесконечного ряда Фурье (\(\Sigma\)) стремится к \(f(x)\) во всех \(x\), где \(f(x)\) непрерывна. В точках, где \(f(x)\) испытывает разрыв, \(\Sigma\) равна среднему значению, а то есть \(\Sigma = \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\)

5.4.1. Четные и нечетные функции#

Всем известно, что косинус - четная, а синус - нечетная функция. Тогда можно понять, что для разложения четных \(f(x)\) нам не нужен нечетный синус и наоборот, для нечетных \(g(x)\) коэффициенты перед косинусом обнулятся. Таким образом мы можем получить следующее разложение ряда Фурье:

\[f(x) = a_0 + a_1 \cos x + \dotsb + a_n \cos nx + \dotsb\]

\[g(x) = b_1 \sin x + b_2 \sin 2x + \dotsb + b_n \sin nx + \dotsb\]

Также мы можем заметить, что если функция определена на каком-то интервале (условно \([-\pi, \pi]\)), то мы можем разложить ее только на области определеня, а ее “экстраполяцию” отбросить какими-то условиями (сделать ряд кусочно-заданным). Функции, определенные на “полуинтервале” (для примера \([0, \pi]\)) мы можем дополнять до четных функций, а затем отбрасывать ненужные значения.

5.5. Расширение множества функций#

Для того, чтобы расширить множество функций, которые мы можем задать с помощью похожего разложения, давайте введем следующие понятия:

\(T\) - период разложения
\(p \equiv \frac{T}{2}\) - полупериод разложения

Тогда, преобразовав коэффициенты Фурье таким образом:

\[a_o = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}{f(x)dx}\]

\[a_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}{f(x) \cos{\frac{\pi n x}{p}} dx}\]

\[b_n = \frac{1}{p} \int_{-p}^{p}{f(x) \sin{\frac{\pi n x}{p}} dx}\]

Можно получить коэффициенты такого вида с помощью следующих формул:

\[\int_{-p}^{p} {\cos{\frac{\pi n x}{p}} dx} = \left.\frac{p}{\pi n} \sin{\frac{\pi n x}{p}} \right|_{-p}^{p} = 0\]

\[\int_{-p}^{p} {\sin{\frac{\pi n x}{p}} dx} = \left.-\frac{p}{\pi n} \cos{\frac{\pi n x}{p}} \right|_{-p}^{p} = 0\]

\[\int_{-p}^{p}{dx} = 2p\]

Проведя аналогию с тем, как мы выводили коэффициенты в предыдущих пунктах, получаем новые “расширенные” коэфициенты.

5.6. Пример использования#

Разложить функцию \(y=|x|(1 - |x|)\) в ряд Фурье на отрезке \((-1, 1]\) Заметим, что функция четная по определению. Следовательно \(b_n = 0\)

\[a_0 = \int_{-1}^{1}|x|(1-|x|)dx = \int_{-1}^{1}|x|dx - \int_{-1}^{1}x^2dx = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

\[(0)a_n = \int_{-1}^{1}|x|(1-|x|)\cos(\pi n x)dx=\int_{-1}^{0}-x\cos(\pi n x)dx + \int_{0}^{1}x\cos(\pi n x)dx - \int_{-1}^{1}{x^2\cos(\pi n x) dx}\]

\[(1)\int x\cos(\pi n x)dx = \frac{x\sin(\pi n x)}{\pi n} - \frac{1}{\pi n} \int \sin(\pi n x)dx = \frac{x\sin(\pi n x)}{\pi n} - \frac{\cos(\pi n x)}{\pi^2n^2}\]

\[(2)\int_{-1}^{1}{x^2\cos(\pi n x) dx} = \frac{x^2\sin(\pi n x)}{\pi n}-\frac{2}{\pi n}\int x\sin(\pi n x) dx = \frac{x^2\sin(\pi n x)}{\pi n} + \frac{2x\cos(\pi n x)}{\pi^2 n^2} - \frac{2\sin(\pi n x)}{\pi^3 n^3}\]

Подставляя \((1), (2)\) в \((0)\), получаем:

\[a_n = -2\frac{1+\cos(\pi n)}{\pi^2 n^2}\]

Тогда ряд имеет вид:

\[f(x) = \frac{1}{6} - \frac{2}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1+\cos(\pi n)}{n^2} \right) \cos(\pi n x)}\]

Построим график полученных функций, заметим, что все получилось - ряд сходится к изначальной функции. alt text

5.7. Интеграл Фурье#

После того, как мы научились раскладывать в ряд функци, с любыми конечными периодами, совершив предельный переход и устремив период к бесконечности, мы можем получить обобщение ряда для любой функции.

5.7.1. Утверждение#

Пусть \(f(x)\) задана и абсолютно интегрируема (\(\int_{\Re} |f(x)|dx < \infty\)) на \(\Re\). Тогда для нее можно определить интеграл Фурье:

\[f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left[A(\alpha)\cos{\alpha x} + B(\alpha) \sin{\alpha x} \right] d{\alpha}\]

\[A(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos{\alpha t}dt}\]

\[B(\alpha) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\sin{\alpha t}dt}\]

Или

\[f(x)= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos(\alpha (t - x))dt}d{\alpha}\]

5.8. Вывод интеграла Фурье#

Мы уже знаем, что

\[f(x) = \frac{1}{2p} \int_{-p}^{p}{f(t)dt}+\frac{1}{p} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos{\frac{\pi n t}{p}} dt} \right) \cos{\frac{\pi n}{p}}+ \left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\sin{\frac{\pi n t}{p}} dt} \right) \sin{\frac{\pi n}{p}}\right]\]

Если обозначить \(\alpha_n = \frac{\pi n}{p}, \Delta \alpha = \alpha_n - \alpha_{n-1} = \frac{\pi}{p}\), то получим:

\[f(x) = \frac{1}{\pi} \left(\int_{-p}^{p}{f(t)dt}\right)\Delta\alpha+\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos{\alpha_n t} dt} \right) \cos{\alpha_n}+ \left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\sin{\alpha_n t} dt} \right) \sin{\alpha_n}\right]\Delta\alpha\]

Если \(p \rightarrow \infty \Leftrightarrow \Delta\alpha \rightarrow 0\), то по определению:

\[\lim_{\Delta\alpha \rightarrow 0} \sum_{n=0}^{\infty}F(\alpha_n)\Delta\alpha \equiv \int_{0}^{\infty}{F(\alpha)d{\alpha}}\]

Мы получаем

\[f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\left[\left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\cos{\alpha t} dt} \right) \cos{\alpha x} + \left(\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)\sin{\alpha t} dt} \right) \sin{\alpha x} \right]d{\alpha}\]

Мы получили определение. Можно упростить результат:

\[f(x) = \frac{1}{\pi}{\int_{0}^{\infty}{\left[\int_{-\infty}^{\infty} \left(\cos{\alpha t} \cos{\alpha x} + \sin{\alpha t} \sin{\alpha x} \right) dt \right] d{\alpha}}} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos(\alpha (t - x))dt}d{\alpha}\]

5.9. Теорема о сходимости интеграла Фурье#

Если \(f(x), f'(x)\) кусочно непрерывны на \(\Re\) и \(f(x)\) абсолютно интегрируема на R, то в точках, где \(f(x)\) - непрерывна, интеграл Фурье сходится к \(f(x)\). В точках разрыва \(f(x)\) интеграл Фурье сходится к \(\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\)

5.10. Пример использования#

Представьте интегралом Фурье следующую функцию

\[\begin{split}y = \begin{cases} a &{|x| < 1} \\ 0 &{|x| \geq 1}\end{cases}\end{split}\]

\[(0)y = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos(\theta (t - x))dt}d{\theta}\]

\[(1) \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos(\theta (t - x))dt} = 0 + \int_{-1}^{1}a\cos(\theta (t - x))dt=\left.\frac{a}{\theta}\sin(\theta(t-x))\right|_{-1}^{1}\]

Подставив пределы, получаем

\[\frac{a}{\theta}\left( \sin(\theta(1-x) - \sin(\theta(-1-x)\right) = \frac{2a}{\theta}\sin\theta\cos{\theta x}\]

\[\sin A - \sin B = 2\sin{\frac{A - B}{2}}\cos\frac{A + B}{2}\]

Подставим \((1)\) в \((0)\)

\[f(x) = \frac{2a}{\pi}\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin\theta\cos\theta x}{\theta}} d{\theta}\]

Я не умею такое считать, так что оствлю как есть. Построим график нашей функции и приближенного интеграла Фурье, чтобы убедиться, что во время вычислений не допущено ошибок.

alt text Все сходится!