1. Эллиптический потенциал

1.1. Формулировка задачи

Рассмотрим движение точки внутри однородного невращающегося эллипсоида. Направим оси \(x, y, z\) вдоль осей эллипсоида, тогда потенциал будет иметь вид:

\[ U(x, y, z)=U_0-\frac{1}{2}(ax^2+by^2+cz^2). \]

Здесь \(U_0\) — потенциал в центре эллипсоида, \(a, b, c\) — положительные константы.

1. Запишите уравнения движения точки в декартовых координатах, получите зависимость координат точки от времени.

2. Пусть в некоторой системе координат величины \(a, b, c\) таковы: \(a=2, b=4, c=8\). Определите, будет ли траектория частицы или ее проекции на координатные плоскости замкнутыми.

3. Показатель Ляпунова — характеристика, показывающая степень хаотичности системы и оценивающая скорость расхождения изначально близких траекторий. Пусть \(r_0\) — начальное расстояние между точками на близких орбитах, \(r(t)\) — расстояние между точками в момент времени \(t\). Тогда показатель Ляпунова равен:

\[ \lambda = \lim\limits_{t\to\infty}\lim\limits_{r_0\to0}\frac{1}{t}\ln\frac{r(t)}{r_0}. \]

Пусть точка на основной траектории в начальный момент времени имела координаты \((A, 0, 0)\) и скорости \((0,V,0)\). Оцените показатель Ляпунова для смещения относительно начальной орбиты вдоль оси \(x\).

1.2. Уравнения движения

Уравнения движения можно получить из выражения для потенциала. Найдём градиент потенциала:

\[ \frac{\partial U}{\partial x}=-ax, \frac{\partial U}{\partial y}=-by, \frac{\partial U}{\partial z}=-cz. \]

Отсюда получаем систему:

\[\begin{split} \begin{cases} \ddot{x} = -\frac{a}{m}x\\ \ddot{y} = -\frac{b}{m}y\\ \ddot{z} = -\frac{c}{m}z\\ \end{cases} \end{split}\]

Тогда уравнения движения имеют вид:

\[\begin{split} \label{motion} \begin{cases} x(t) = A\cos\omega_x t+B\sin\omega_x t\\ y(t) = C\cos\omega_y t+D\sin\omega_y t\\ z(t) = E\cos\omega_z t+F\sin\omega_z t\\ \end{cases}, \end{split}\]

где \(\omega=\sqrt{\{a,b,c\}/m}\). Константы \(A..F\) определяются начальными условиями.

1.3. Замкнутость траекторий

Условие замкнутости:

\[ x(t_1)=x(t_2), y(t_1)=y(t_2), z(t_1)=z(t_2). \]

Простейший вывод, который можно сделать, глядя на уравнения движения:

\[ \sqrt{\{a, b, c\}/m}\cdot t=2\pi k_{\{1, 2, 3\}}, \]

где \(k_{\{1, 2, 3\}}\in\mathbb{Z}\). Положим, что \(a=2, b=4, c=8\). Тогда:

\[\begin{split} \begin{cases} t=\pi\sqrt{m}\alpha\\ \alpha\sqrt2\in\mathbb{Z}\\ \alpha\sqrt4=2\alpha\in\mathbb{Z}\\ \alpha\sqrt8\in\mathbb{Z}\\ \end{cases}. \end{split}\]

Очевидно, если \(t\neq0\), то все условия не могут быть выполнены одновременно, а значит, траектория не замкнута (в предложенном частном случае). Однако проекция на плоскость \(XZ\) замкнута: \(\alpha \sim \sqrt2\) (это не единственная возможность). Тогда можно получить счётное множество возможных зачений \(t\).

1.4. Показатель Ляпунова

Рассмотрим задачу при следующих начальных условиях: \(x_0=A, y_0=0, z_0 = 0\); \(\dot x=0,\dot y=V,\dot z=0\). Тогда уравнения движения принимают вид:

\[\begin{split} \begin{cases} x(t) = A\cos\omega_x t\\ y(t) = V\sqrt\frac{m}{b}\sin\omega_y t\\ z(t) = 0\\ \end{cases}. \end{split}\]

При небольшом отклонении на \(\delta x\) по оси \(X\) измеится коэффициент при косинусе в \(x(t)\). Тогда \(r(t)\) — расстояние между траекториями составит:

\[ r(t) = (A+\delta x)\cos\omega_x t - A\cos\omega_x t = \delta x\cos\omega_x t. \]

Тогда показатель Ляпунова:

\[ \lambda_x = \lim\limits_{t\to\infty}\lim\limits_{r_0\to0}\frac{1}{t}\ln\frac{r(t)}{r_0}=\lim\limits_{t\to\infty}\frac{1}{t}\ln\cos\omega_x t=0. \]

Точка никуда не вылетает и остаётся на траектории бликой к начальной.