1. Теория множеств#
1.1. Философские вопросы#
Начнем разговор с некоторых вопросов, связанных с пониманием математического языка. Пожалуй, первый опыт понимания математичесого текста причиняет наибольший дискомфорт неопытному читателю. Авторы надеются, что этот раздел поможет преодолеть возникающие внутренние противоречия и возможное неприятие.
Язык, избранный математиками — язык логики. Его задача — лаконично и понятно излагать мысли. С этой целью в мире математики приняты соглашения, признаваемые повсеместно, поэтому этот язык по праву можно считать международным.
Для записи мыслей, тезисов математики пользуются специальными символами, некоторые из них: \(\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow\) (‘’не’’, ‘’и’’, ‘’или’’, ‘’следует’’, ‘’равносильно’’). Рассмотрим три выражения:
\(A\) Число делится на \(2\).
\(B\) Число делится на \(3\).
\(C\) Число делится на \(4\).
Математики могли бы работать с ними следующим образом:
Символьное обозначение |
Расшифровка |
|---|---|
\(A\Rightarrow B\) |
из \(A\) следует \(B\) |
\(A\Leftrightarrow B\) |
\(A\) равносильно \(B\) |
\(((B\Rightarrow A)\land A)\Rightarrow C\) |
Если из \(B\) следует \(A\) и \(A\) верно, то \(C\) верно |
\(\neg ((A\Leftrightarrow B)\lor(A\Leftrightarrow C))\) |
\(A\) не равносильно ни \(A\) ни \(B\) |
Как видно, иногда математическая запись кажется более удобной, иногда обычная. В хорошем тексте стараются соблюдать баланс между этими двумя крайностями. Кроме того заметно, что одну и ту же запись можно читать неоднозначно, если не ввести порядок действий. Он имеет следующий вид:
Пожалуй, один из самых важных знаков, с которыми мы будем работать — следствие \(\Rightarrow\). Простая интерпретация — \(A\Rightarrow B\equiv\) из \(A\) следует \(B\). Однако более ёмко сказать так: \(B\) есть необходимое условие для выполнения \(A\), кроме того \(A\) есть достаточное условие для выполнения \(B\).
Однако такое соотношение может работать сразу в обе стороны: \(A\Leftrightarrow B\), этому выражению соответствуют следующие стандартные эквивалентные формулировки:
\(A\) необходимо и достаточно для \(B\);
\(A\) тогда и только тогда, когда \(B\);
\(A\), если и только если \(B\);
\(A\) равносильно \(B\).
Теперь сделаем несколько замечаний о доказательствах. Обычно доказательство представляет собой цепочку вида: \(A\Rightarrow C_1\Rightarrow C_2 \Rightarrow C_3 \cdots \Rightarrow B\). Каждый элемент цепочки — либо аксиома, либо ранее доказанное утверждение.
Существует два простейших подхода к доказательствам: если \(A\) истинно и \(A\Rightarrow B\), то и \(B\) истинно. Доказательство от противного основывается на принципе исключённого третьего: высказывание вида \(A\lor\neg A\) всегда истинно.
\(A\) |
\(B\) |
\(\neg A\) |
\(A\land B\) |
\(A\lor B\) |
\(A\Rightarrow B\) |
\(A\Leftrightarrow B\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Таблица истинности. Здесь 1 обозначены истинные утверждения, а 0 - ложные. Понимать это надо в том смысле, что утверждение \(A\land B\) истинно лишь в том случае, когда одновременно истинны утверждения \(A\) и \(B\) и т.д.
Еще одно замечание. Обратим внимание на принимаемое соглашение — из ложного утверждения может следовать что угодно (как истина, так и ложь) и такое утверждение считается истинным. Такое соглашение оказвается удобным, так как в таком случае утверждение ‘’A делится на 4 \(\Rightarrow\) A делится на 2’’ оказывается истинным для любого натурального числа A (в том числе для 3, 6 и 16).
1.2. Теория множеств#
В этом разделе мы поговорим о сущности, с которой начинается любая математика. Это множества.
Определение
Множество — произвольное собрание различных предметов. Предметы из этого собрания — элементы множества.
Можно отметить следующие свойства:
Множество может состоять из любых различимых объектов.
Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.
Если нечто \(x\) принадлежит множеству \(X\), то пишут: \(x\in X\). Отрицание этого факта: \(x\notin X\).
Задать множество можно различными способами: прямым перечислением (\(\{1, 2, 3\}\)), указанием некоторого свойства (\(\{x|P(x)\}\)). Отдельно можно упомянуть некоторые специальные множества:
\(\varnothing\) — пустое множество.
\(\mathbb N\) — множество натуральных чисел (\(\{1, 2, 3\cdots\}\)).
\(\mathbb Z\) — целые числа.
\(\mathbb Q\) — рациональные числа.
\(\mathbb I\) — иррациональные числа.
\(\mathbb R\) — действительные числа.
Может показаться, что данное определение очевидно и почти не содержит в себе иной ценности, кроме формализма. Однако это не так. В качестве контраргумента читателю предлагается познакомиться с парадоксом Рассела: противоречивость множества всех множеств.
Докажем, что понятие ‘’множество всех множеств’’ некорректно.
\(\vartriangleright\) Рассмотрим множество \(M\). Пусть условие \(P(M)\) выполнено, когда \(M\) не содержит себя в качестве элемента \(M\), то есть \(M\notin M\).
Рассмотрим специальный класс множеств: \(K = \{M|P(M)\}\). Это класс всех множеств, удовлетворяющих условию \(P\).
Пусть \(K\) — множество, тогда верно утверждение: \(P(K)\lor\neg P(K)\). То есть \(P(K)\) либо верно, либо нет.
\(P(K)\Rightarrow K\in K\Rightarrow\neg P(K)\). Если \(P(K)\) верно, то, по определению \(K\), \(K\) содержит себя, что означает, что \(P\) не выполнено, по определению \(P\).
Остается вторая возможность: \(\neg P(K)\). Это противоречит определению \(K\), получается похожая цепочка рассуждений.
Это означает, что исходное положение, что \(K\) — множество, является неверным.
\(\square\)
Задача
Постройте множество \(A\) так, что \(A\notin A\).
Теперь поговорим о подмножестве. Это множество, обладающее следующими свойствами (\(A,B,C\) — множества):
\(A\subset A\): любое множество является подмножеством самого себя;
\(\varnothing\subset A\): пустое множество является подмножеством любого множества;
\(A\subset B\land B\subset C\Rightarrow A\subset C\): транзитивность.
Можно определить подмножество следующим образом: \(A\subset B\Leftrightarrow\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\).
Задача
Постройте множества \(A\), \(B\), \(C\) так, что \(A\in B\), \(B\in C\), но \(A\notin C\).
Задача
Постройте множества \(A\), \(B\), \(C\) так, что \(A\in B\), \(B\in C\), \(A\in C\).
Далее введём две важные операции на множествах: пересечение и объединение. Дадим их формальные определения:
\(A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}\): пересечение;
\(A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\): объединение;
Сразу из определения следует свойство перестановочности для обоих операций: \(A\cap B = B\cap A\), \(A\cup B = B\cup A\).
Задача
Покажите, что: \(\bigcup\limits_\alpha A_\alpha\cap\bigcup\limits_\beta B_\beta=\bigcup\limits_{\alpha,\beta}\left(A_\alpha\cap B_\beta\right)\).
Разностью множеств называют следующую операцию: \(A\backslash B = \{x|x\in A\land x\notin B\}\).
Задача
Покажите, что \(A\backslash (A\backslash B) = A\cap B\).
Из определения разности множеств видно, что эта операция не перестановочна, однако есть другая операция, обладающая этим свойством: симметрическая разность. Определение выглядит так: \(A\triangle B = (A\backslash B)\cup (B\backslash A) = (A\cup B)\backslash (A\cap B)\). Эта операция имеет важное значение при построении теории вероятности, в интегральном исчислении и в теории меры в целом.