2. Введение в Электромагнетизм

Электромагнетизм — одна из четырех фундаментальных сил вселенной. За исключением силы тяжести, большинство повседневных явлений можно объяснить электромагнетизмом. Само существование атомов требует электрической силы (плюс странные квантовые эффекты), чтобы удерживать электроны у ядра, молекулы также образуются благодаря электрическим силам между атомами. В более макроскопическом масштабе электричество питает все наши электрические устройства (по определению), в то время как магнитная сила заставляет предметы прилипать к холодильнику. Наконец, электромагнитная сила порождает свет и позволяет нам видеть.

Несмотря на то, что эта сила ответственна за множество эффектов, современное классическое описание электромагнетизма довольно простое. Оно выражается всего четырьмя короткими и лаконичными уравнениями, известными как уравнения Максвелла. По сути, в большинстве этого курса мы будем изучать различные решения этих уравнений.

Исторически электромагнетизм имеет еще одно значение — он привел к открытию Эйнштейном специальной теории относительности. В конце курса мы рассмотрим, как уравнения Максвелла органично вписываются в рамки относительности. Записанные в релятивистской форме, уравнения Максвелла выглядят намного проще и элегантнее. Мы обнаружим, что магнетизм является чисто релятивистским эффектом и имеет смысл только в контексте теории относительности.

Когда мы перейдем к миру специальной теории относительности, мы не только лучше поймем уравнения Максвелла. В качестве вывода мы также лучше разберемся в самой теории относительности, представив более формальное изложение специальной теории относительности, которая становится мощным инструментом для разработки теорий, согласующихся с релятивистской физикой.

2.1. Предварительные сведения

2.1.1. Заряд и Ток

Сила электромагнитного воздействия на частицу определяется ее электрическим зарядом. Единица измерения заряда в системе СИ — кулон. В этом курсе мы предполагаем, что заряд может быть любым действительным числом. Однако на фундаментальном уровне заряд квантуется. Все частицы несут заряд \(q = ne\), где \(n\) — целое число, а \(e ≈ 1.6×10^{-19}\) кл. Например, у электрона \(n = −1\), у протона \(n = +1\), а у нейтрона \(n = 0\).

Часто полезнее говорить о плотности заряда \(ρ(\mathbf x, t)\).

2.1.1.1. Плотность заряда

Плотность заряда — это заряд на единицу объема. Общий заряд в области \(V\) равен:

\[ Q = \int_V ρ(\mathbf x, t) dV \]

Когда мы изучаем заряженные поверхности или линии, плотность заряда может быть на единицу площади или длины соответственно, но это будет ясно из контекста.

Движение заряда описывается плотностью тока \(\mathbf J(\mathbf x, t)\).

2.1.1.2. Ток и плотность тока

Для любой поверхности \(S\), интеграл:

\[ I = \int_S \mathbf J \cdot d\mathbf S \]

даёт заряд, проходящий через поверхность \(S\) за единицу времени. \(I\) — это ток, а \(J\) — плотность тока, т.е. ток на единицу площади.

Интуитивно, если распределение заряда \(ρ(\mathbf x, t)\) имеет скорость \(\mathbf v(\mathbf x, t)\), то (пренебрегая релятивистскими эффектами) мы получаем:

\[ \mathbf J = ρ\mathbf v \]

2.1.1.3. Пример

Провод — это цилиндр с площадью поперечного сечения \(A\). Допустим, есть \(n\) электронов на единицу объема. Тогда:

\[ ρ = nq = −ne \]

\[ \mathbf J = nq\mathbf v \]

\[ I = nqvA \]

Известно, что заряд сохраняется — мы не можем создать или уничтожить заряд. Однако сохранение заряда не означает лишь, что “общий заряд во вселенной не изменяется”. Мы хотим исключить сценарии, когда заряд на Земле исчезает и мгновенно появляется на Луне. Поэтому, что действительно подразумевается — заряд сохраняется локально: если он исчезает здесь, он должен переместиться куда-то поблизости. Или же плотность заряда может измениться только за счет непрерывных токов. Это отражено в уравнении непрерывности:

2.1.1.4. Уравнение непрерывности

\[ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf J = 0 \]

Мы можем записать это уравнение в более интуитивной интегральной форме через теорему Остроградского-Гаусса.

Заряд \(Q\) в области \(V\) определяется как:

\[ Q = \int_V ρ dV \]

Так что:

\[ \frac{dQ}{dt} = \int_V \frac{\partial ρ}{\partial t} dV = - \int_V \nabla \cdot \mathbf J dV = - \int_S \mathbf J \cdot d\mathbf S \]

Таким образом, уравнение непрерывности утверждает, что изменение общего заряда в объеме равно общему току через его границу.

В частности, если взять \(V = \mathbb R^3\), то есть все пространство, и если на бесконечности нет токов, тогда:

\[ \frac{dQ}{dt} = 0 \]

Следовательно, уравнение непрерывности подразумевает сохранение заряда.

2.1.2. Силы и поля

В современной физике считается, что все силы передаются через поля. Поле — это динамическая величина, которая присваивает значение каждой точке в пространстве и времени. В электромагнетизме у нас есть два поля:

• Электрическое поле \(\mathbf E(\mathbf x, t)\);

• Магнитное поле \(\mathbf B(\mathbf x, t)\).

Каждое из этих полей является векторным, то есть оно присваивает вектор каждой точке в пространстве и времени, а не одно число.

Поля взаимодействуют с частицами двумя способами. С одной стороны, поля заставляют частицы двигаться. С другой стороны, частицы создают поля. Первый аспект описывается силой Лоренца:

2.1.2.1. Сила Лоренца

\[ \mathbf F = q(\mathbf E + v \times \mathbf B) \]

в то время как второй аспект описывается уравнениями Максвелла.

2.1.2.2. Уравнения Максвелла

\[ \nabla \cdot \mathbf E = \frac{ρ}{ε_0} \]

\[ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \]

\[ \nabla \times \mathbf E + \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = 0 \]

\[ \nabla \times \mathbf B - μ_0 ε_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = μ_0 \mathbf J \]

где у нас есть две константы:

• \(ε_0 = 8.85 × 10^{-12} \, \text{м}^{-3} \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^2 \, \text{Кл}^2\) — электрическая постоянная;

• \(μ_0 = 4π × 10^{-6} \, \text{м} \, \text{кг} \, \text{Кл}^{-2}\) — магнитная постоянная.

Некоторые предпочитают называть эти константы “постоянной электрической проницаемости вакуума” и “постоянной магнитной проницаемости вакуума”. Однако почему бы не использовать простые и понятные термины: “электрическая постоянная” и “магнитная постоянная”?

Мы только что завершили описание всей (классической, нерелятивистской) электродинамики. Оставшаяся часть курса будет посвящена изучению следствий и решений этих уравнений.

2.2. Электростатика

Электростатика — это изучение неподвижных зарядов при отсутствии магнитных полей. Мы предполагаем, что \(ρ = ρ(x)\), \(J = 0\), а \(B = 0\). Мы будем искать стационарные решения. В этом случае единственные нетривиальные уравнения:

\[ \nabla \cdot \mathbf E = \frac{ρ}{ε_0} \]

\[ \nabla \times \mathbf E = 0 \]

Остальные два уравнения просто дают \(0 = 0\).

В этой главе наша цель — найти \(\ьфериа E\) для любого \(ρ\). Конечно, сначала мы начнем с простых, симметричных случаев, а затем перейдем к более общим.

2.2.1. Закон Гаусса

Здесь мы преобразуем первое уравнение Максвелла в интегральную форму, известную как закон Гаусса.

Рассмотрим область \(V \subseteq \mathbb R^3\) с границей \(S = ∂V\). Интегрируя первое уравнение по объему \(V\), получаем:

\[ \int_V \nabla \cdot \mathbf E dV = \frac{1}{ε_0} \int_V ρ dV \]

Согласно теореме Остроградского-Гаусса:

\[ \int_V \nabla \cdot \mathbf E dV = \int_S \mathbf E \cdot d\mathbf S \]

и по определению:

\[ Q = \int_V ρ dV \]

Таким образом, мы получаем закон Гаусса:

2.2.1.1. Закон Гаусса

\[ \int_S \mathbf E \cdot d\mathbf S = \frac{Q}{ε_0} \]

где \(Q\) — это общий заряд внутри \(V\).

2.2.1.2. Поток через поверхность

Поток \(E\) через поверхность \(S\) определяется как:

\[ \int_S \mathbf E \cdot d\mathbf S \]

Закон Гаусса говорит нам, что поток зависит только от общего заряда внутри поверхности. В частности, любой внешний заряд не вносит вклад в общий поток. Хотя внешние заряды создают поля, проходящие через поверхность, поля должны войти в объем через одну сторону поверхности и выйти через другую. Закон Гаусса утверждает, что эти два вклада точно компенсируют друг друга, и общий поток, созданный внешними зарядами, равен нулю.

На основе этого можно доказать закон Кулона:

2.2.1.3. Закон Кулона

Рассмотрим сферически симметричное распределение заряда \(ρ(r)\) с \(ρ(r) = 0\) для \(r > R\), т.е. весь заряд содержится в сфере радиусом \(R\).

По симметрии сила одинакова во всех направлениях и направлена наружу радиально. Следовательно:

\[ E = E(r) \hat{r} \]

Это немедленно гарантирует, что \(\nabla \times E = 0\).

Возьмем \(S\) как сферу радиусом \(r > R\). Тогда общий поток равен:

\[ \int_S E \cdot dS = \int_S E(r) \hat{r} \cdot dS = E(r) \int_S \hat{r} \cdot dS = E(r) \cdot 4πr^2 \]

Согласно закону Гаусса, это равно:

\[ \frac{Q}{ε_0} \]

Следовательно:

\[ E(r) = \frac{Q}{4πε_0 r^2} \]

и

\[ E(r) = \frac{Q}{4πε_0 r^2} \hat{r} \]

Согласно представлению о силе Лоренца, сила, испытываемая вторым зарядом, равна:

\[ F(r) = \frac{Qq}{4πε_0 r^2} \hat{r} \]

что и есть закон Кулона.

Строго говоря, это справедливо только в том случае, если заряды не движутся. Однако для большинства практических задач можно использовать это уравнение, так как необходимые поправки для движущихся зарядов очень малы.

2.2.1.4. Однородная сфера

Рассмотрим однородную сферу с:

\[\begin{split} ρ(r) = \begin{cases} ρ, & r < R \\ 0, & r > R \end{cases} \end{split}\]

Снаружи мы знаем, что:

\[ \mathbf E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{r} \]

Теперь предположим, что мы внутри сферы.

\[ \int_S \mathbf E \cdot d\mathbf S = E(r) 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \left( \frac{r^3}{R^3} \right) \]

Таким образом,

\[ \mathbf E(r) = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3} \hat{r} \]

и поле увеличивается с радиусом.

2.2.1.5. Линейный заряд

Рассмотрим бесконечную линию с равномерной плотностью заряда на единицу длины \(\eta\).

Используем цилиндрические полярные координаты:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]

По симметрии поле является радиальным, т.е.

\[ \mathbf E(r) = E(r) \hat{r} \]

Выбираем \(S\) как цилиндр длиной \(L\) и радиусом \(r\). Известно, что торцевые крышки не вносят вклад в поток, поскольку силовые линии перпендикулярны нормали. Площадь изогнутой поверхности равна \(2\pi rL\). Тогда:

\[ \int_S E \cdot dS = E(r) 2\pi rL = \frac{\eta L}{\epsilon_0} \]

Таким образом,

\[ \mathbf E(r) = \frac{\eta}{2\pi\epsilon_0 r} \hat{r} \]

Обратите внимание, что поле изменяется как \(1/r\), а не как \(1/r^2\). Интуитивно, это происходит потому, что у нас есть еще одно измерение по сравнению с точечным зарядом, поэтому поле убывает не так быстро.

2.2.1.6. Поверхностный заряд

Рассмотрим бесконечную плоскость \(z = 0\) с равномерным зарядом на единицу площади \(\sigma\).

По симметрии поле направлено вертикально, а поле снизу противоположно полю сверху. Имеем:

\[ \mathbf E = E(z) \hat{z} \]

при этом

\[ E(z) = -E(-z) \]

Рассмотрим вертикальный цилиндр высотой \(2z\) и площадью поперечного сечения \(A\). Теперь только торцевые крышки вносят вклад. Таким образом,

\[ \int_S \mathbf E \cdot d\mathbf S = E(z) A - E(-z) A = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \]

Следовательно,

\[ E(z) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \]

и оно постоянно.

Обратите внимание, что электрическое поле разрывно на поверхности. У нас:

\[ E(z \to 0^+) - E(z \to 0^-) = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \]

Это общее утверждение справедливо для любых поверхностей и \(\sigma\). Мы можем доказать это, рассматривая цилиндр, проходящий через поверхность, и уменьшая его размер до нуля. Тогда мы находим:

\[ \hat{n} \cdot \mathbf E^+ - \hat{n} \cdot \mathbf E^- = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \]

Однако компоненты \(\mathbf E\), касательные к поверхности, являются непрерывными.

2.2.2. Электростатический потенциал

В общем случае нам нужно решить как \(\nabla \cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\epsilon_0}\), так и \(\nabla \times\mathbf E = 0\). Однако мы уже знаем, что общее решение второго уравнения имеет вид \(\mathbf E = -\nabla \phi\) для некоторого скалярного поля \(\phi\).

2.2.2.1. Электростатический потенциал

Если \(\mathbf E = -\nabla \phi\), то \(\phi\) — это электростатический потенциал.

Подставляя это в первое уравнение, мы получаем:

\[ \nabla^2 \phi = \frac{\rho}{\epsilon_0} \]

Это уравнение Пуассона, которое мы изучали в других курсах. Если мы находимся в пустоте и \(\rho = 0\), то получаем уравнение Лапласа.

Есть несколько интересных моментов, касающихся нашего результата:

• \(\phi\) определено с точностью до постоянной. Обычно мы фиксируем это, требуя \(\phi(r) \to 0\), когда \(r \to \infty\). Это утверждение кажется тривиальным, но на самом деле эта особенность \(\phi\) очень важна и порождает множество интересных свойств. Однако у нас не будет возможности исследовать это на данном курсе.

• Уравнение Пуассона линейно. Поэтому если у нас есть два заряда \(ρ_1\) и \(ρ_2\), то потенциал просто равен \(φ_1 + φ_2\), а поле — \(E_1 + E_2\). Это принцип суперпозиции. Среди четырех фундаментальных сил природы электромагнетизм — единственная сила, обладающая этим свойством.

2.2.2.2. Точечный заряд

Рассмотрим точечную частицу с зарядом \(Q\) в начале координат. Тогда:

\[ ρ(\mathbf r) = Q \delta^3(\mathbf r) \]

Здесь \(\delta^3\) — это обобщение обычной дельта-функции для (3D) векторов.

Уравнение, которое нам нужно решить:

\[ \nabla^2 φ = -\frac{Q}{\epsilon_0} \delta^3(\mathbf r) \]

Вдали от начала координат \(\mathbf r = 0\), \(\delta^3(\mathbf r) = 0\), и у нас есть уравнение Лапласа. Согласно курсу “Векторное исчисление”, общее решение имеет вид:

\[ φ = \frac{\alpha}{r} \]

для некоторой постоянной \(\alpha\).

Постоянная \(\alpha\) определяется дельта-функцией. Интегрируем уравнение по сфере радиуса \(r\), с центром в начале координат. Левая часть уравнения дает:

\[ \int_V \nabla^2 φ dV = \int_S \nabla φ \cdot d\mathbf S = \int_S \frac{-\alpha}{r^2} \hat{r} \cdot d\mathbf S = -4\pi\alpha \]

Правая часть дает:

\[ -\frac{Q}{\epsilon_0} \int_V \delta^3(r) dV = -\frac{Q}{\epsilon_0} \]

Таким образом:

\[ \alpha = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \]

и

\[ \mathbf E = -\nabla φ = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{r} \]

Это в точности то, что мы получаем из закона Кулона.

2.2.2.3. Диполь

2.2.2.3.1. Диполь

Диполь состоит из двух точечных зарядов, \(+Q\) и \(-Q\), расположенных в точках \(\mathbf r = 0\) и \(\mathbf r = -\mathbf d\) соответственно.

Чтобы найти потенциал диполя, мы просто применяем принцип суперпозиции и получаем:

\[ φ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{r} - \frac{Q}{|\mathbf r + \mathbf d|} \right) \]

Этот результат не очень полезен, но мы можем рассмотреть случай, когда мы находимся далеко, т.е. \(r \gg d\). Для этого мы разложим второй член в ряд Тейлора. Для любой функции \(f(r)\), мы имеем:

\[ f(\mathbf r + \mathbf d) = f(\mathbf r) + \mathbf d \cdot \nabla f(\mathbf r) + \frac{1}{2} (\mathbf d \cdot \nabla)^2 f(\mathbf r) + \dots \]

Применяя это к интересующему нас выражению, получаем:

\[ \frac{1}{|\mathbf r + \mathbf d|} = \frac{1}{r} - \frac{\mathbf d \cdot \mathbf r}{r^3} - \frac{1}{2} \left( \frac{\mathbf d \cdot \mathbf d}{r^3} - \frac{3(\mathbf d \cdot \mathbf r)^2}{r^5} \right) + \dots \]

Подставляя это в наше уравнение, получаем:

\[ φ = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r} + \frac{\mathbf d \cdot \mathbf r}{r^3} + \dots \right) \sim \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\mathbf d \cdot \mathbf r}{r^3} \]

2.2.2.3.2. Электрический дипольный момент

Мы определяем электрический дипольный момент как:

\[ p = Qd \]

По соглашению, он направлен от отрицательного к положительному заряду.

Тогда:

\[ φ = \frac{p \cdot \hat{r}}{4\pi\epsilon_0 r^2} \]

и

\[ E = -\nabla φ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{3(p \cdot \hat{r})\hat{r} - p}{r^3} \right) \]

2.2.2.4. Общее распределение зарядов

Чтобы найти потенциал \(φ\) для общего распределения зарядов \(ρ\), мы используем функцию Грина для оператора Лапласа. Функция Грина определяется как решение уравнения:

\[ \nabla^2 G(r, r') = \delta^3(r - r') \]

В разделе о точечных зарядах мы показали, что:

\[ G(r, r') = -\frac{1}{4π}\frac{1}{|r - r'|} \]

Предположим, что весь заряд содержится в некоторой компактной области \(V\). Тогда:

\[ φ(r) = -\frac{1}{\epsilon_0} \int_V ρ(r') G(r, r') d^3r' \]

или

\[ φ(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V \frac{ρ(r')}{|r - r'|} d^3r' \]

Тогда:

\[ E(r) = -\nabla φ(r) \]

\[ E(r) = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V ρ(r') \nabla \left( \frac{1}{|r - r'|} \right) d^3r' \]

\[ E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V ρ(r') \frac{(r - r')}{|r - r'|^3} d^3r' \]

Если мы подставим очень сложное распределение \(ρ\), мы получим очень сложное \(E\)!

Однако мы можем задаться вопросом: как выглядят \(φ\) и \(E\) очень далеко от \(V\), то есть при \( |r| \gg |r'| \)? Опять используем разложение Тейлора:

\[ \frac{1}{|r - r'|} = \frac{1}{r} + r' \cdot \nabla \left( \frac{1}{r} \right) + \dots \]

или

\[ \frac{1}{|r - r'|} = \frac{1}{r} + \frac{r \cdot r'}{r^3} + \dots \]

Тогда получаем:

\[ φ(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V ρ(r') \left( \frac{1}{r} + \frac{r \cdot r'}{r^3} + \dots \right) d^3r' \]

\[ φ(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{p \cdot \hat{r}}{r^2} + \dots \right) \]

где:

\[ Q = \int_V ρ(r') dV' \]

\[ p = \int_V r' ρ(r') dV' \]

\[ \hat{r} = \frac{r}{|r|} \]

Таким образом, если у нас есть большое скопление заряда, мы можем рассматривать его как точечный заряд \(Q\) с поправками дипольного момента.

2.2.2.5. Линии поля и эквипотенциалы

Обычно векторы визуализируются с помощью стрелок, где более длинные стрелки представляют более крупные векторы. Однако этот подход не является практичным при визуализации полей, поскольку поле назначает вектор каждой точке в пространстве, и мы не хотим рисовать бесконечно много стрелок. Вместо этого мы используем линии поля.

2.2.2.5.1. Линия поля

Линия поля — это непрерывная линия, касательная к электрическому полю \(E\). Плотность линий пропорциональна \( |E| \).

Линии начинаются и заканчиваются только на зарядах (и на бесконечности) и никогда не пересекаются.

Мы также можем нарисовать эквипотенциалы.

2.2.2.5.2. Эквипотенциалы

Эквипотенциалы — это поверхности с постоянным \(φ\). Поскольку \(E = -\nabla φ\), они всегда перпендикулярны линиям поля.

2.2.2.6. Пример

Линии поля для положительного и отрицательного заряда соответственно:

TODO FIGURE

Мы также можем нарисовать линии поля для диполей:

TODO FIGURE

2.2.3. Электростатическая энергия

Мы хотим рассчитать, сколько энергии хранится в электрическом поле. Напомним из курса “Динамика и Относительность”, что частица с зарядом \(q\) в поле \(E = -\nabla φ\) имеет потенциальную энергию \(U(r) = qφ(r)\).

\(U(r)\) можно рассматривать как работу, совершаемую при переносе частицы с бесконечности, как показано ниже:

\[ WORK = - \int_r^\infty F \cdot dr = - \int_r^\infty E \cdot dr = q \int_r^\infty \nabla φ \cdot dr = q [ φ(r) - φ(\infty) ] = U(r) \]

где мы полагаем \(φ(\infty) = 0\).

Теперь рассмотрим \(N\) зарядов \(q_i\) в точках \(r_i\). Общая потенциальная энергия, которая хранится, равна работе, совершенной для сборки этих частиц. Поместим их по одной:

1. Первый заряд свободен. Совершенная работа \(W_1 = 0\).

2. Чтобы поместить второй заряд в точку \(r_2\), требуется работа:

\[ W_2 = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|r_1 - r_2|} \]

3. Чтобы поместить третий заряд в точку \(r_3\), требуется работа:

\[ W_3 = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q_1}{|r_1 - r_3|} + \frac{q_2}{|r_2 - r_3|} \right) \]

4. И так далее.

Общая совершенная работа:

\[ U = \sum_{i=1}^N W_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{|r_i - r_j|} \]

Или эквивалентно:

\[ U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \frac{q_i q_j}{|r_i - r_j|} \]

Мы можем записать это в альтернативной форме. Потенциал в точке \(r_i\), созданный другими частицами, равен:

\[ φ(r_i) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{j \neq i} \frac{q_j}{|r_i - r_j|} \]

Тогда:

\[ U = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N q_i φ(r_i) \]

Существует очевидное обобщение для непрерывных распределений зарядов:

\[ U = \frac{1}{2} \int ρ(r) φ(r) d^3r \]

Отсюда мы получаем:

\[ U = \frac{\epsilon_0}{2} \int (\nabla \cdot E) φ d^3r \]

\[U = \frac{\epsilon_0}{2} \int [\nabla \cdot (E φ) - E \cdot \nabla φ] d^3r \]

Первый член — это полная производная и исчезает. Во втором члене используем определение \(E = -\nabla φ\) и получаем:

2.2.3.1. Предложение

\[ U = \frac{\epsilon_0}{2} \int E \cdot E d^3r \]

Этот вывод потенциальной энергии не является полностью удовлетворительным. Итоговый результат показывает, что потенциальная энергия зависит только от самого поля, а не от зарядов. Однако результат был получен с использованием зарядов и электрических потенциалов — должен существовать способ вывести этот результат напрямую из поля, и такой способ действительно существует. Однако этот вывод относится к другому курсу.

Также, когда мы обобщаем на непрерывные распределения, мы не всегда полностью корректны. Если у нас есть одна точечная частица, исходная дискретная формула подразумевает, что потенциальная энергия отсутствует. Однако, поскольку связанное поле не равно нулю, наша непрерывная формула дает ненулевую потенциальную энергию.

Это не означает, что итоговый результат неверен. Он правильный, но описывает более сложное (и предпочтительное) понимание “потенциальной энергии”. Опять же, мы не будем вдаваться в подробности на этом курсе.

2.3. Магнитостатика

Магнитостатика — это изучение стационарных токов. В отличие от зарядов, токи не могут существовать изолированно, так как заряды должны двигаться для их создания. Следовательно, магнитное поле создается движением заряженных частиц, и здесь мы будем рассматривать постоянные токи, т.е. токи, которые не изменяются со временем.

2.3.1. Закон Био-Савара-Лапласа

Рассмотрим тонкий провод с током \( I \), протекающим вдоль траектории \( C \). Магнитное поле \( B \) в точке \( r \) можно вычислить с помощью закона Био-Савара:

\[ B(r) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_C \frac{dl' \times (r - r')}{|r - r'|^3} \]

где \( dl' \) — это элемент длины провода в точке \( r' \), а \( r \) — это точка, в которой мы вычисляем магнитное поле. Направление тока определяется направлением \( dl' \).

2.3.1.1. Бесконечный провод

Рассмотрим бесконечный прямолинейный провод с постоянным током \( I \), направленным вдоль оси \( z \). Нам нужно вычислить магнитное поле на расстоянии \( r \) от провода.

По симметрии поле будет круговым, направленным по тангенсу к окружности вокруг провода. По закону Био-Савара:

\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \hat{\theta} \]

где \( \hat{\theta} \) — единичный вектор, направленный по касательной к окружности вокруг провода.

2.3.1.2. Кольцо с током

Рассмотрим тонкое кольцо радиусом \( R \), через которое проходит ток \( I \). Мы хотим найти магнитное поле на оси кольца.

Выбираем точку на оси кольца на расстоянии \( z \) от его центра. По симметрии все горизонтальные компоненты магнитного поля от каждого элемента кольца сократятся, и останется только вертикальная составляющая. Поле в точке \( z \) равно:

\[ B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} \]

2.3.2. Уравнения Максвелла в магнитостатике

В магнитостатике уравнения Максвелла принимают упрощенную форму. Мы предполагаем, что все величины зависят только от пространственных координат, а не от времени.

\[ \nabla \cdot B = 0 \]

Это уравнение означает, что магнитные поля не имеют источников или стоков — нет “магнитных зарядов”. Линии магнитного поля всегда замкнуты.

\[ \nabla \times B = \mu_0 J \]

Здесь \( J \) — плотность тока, создающего магнитное поле. Это уравнение утверждает, что циркуляция магнитного поля зависит от плотности тока.

2.3.2.1. Векторный потенциал

Поскольку \( \nabla \cdot B = 0 \), можно ввести векторный потенциал \( A \), такой что:

\[ B = \nabla \times A \]

Подставив это в уравнение \( \nabla \times B = \mu_0 J \), получаем:

\[ \nabla \times (\nabla \times A) = \mu_0 J \]

Используя тождество векторного анализа \( \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A) - \nabla^2 A \), мы можем записать это как:

\[ \nabla^2 A - \nabla(\nabla \cdot A) = -\mu_0 J \]

Чтобы упростить уравнение, мы можем выбрать калибровку, при которой \( \nabla \cdot A = 0 \). Это называется кулоновской калибровкой, и уравнение принимает вид:

\[ \nabla^2 A = -\mu_0 J \]

Это уравнение похоже на уравнение для электростатического потенциала \( \nabla^2 φ = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \). Решение можно записать с помощью функции Грина, как и в случае электростатики:

\[ A(r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{J(r')}{|r - r'|} d^3r' \]

2.3.3. Сила Лоренца

Заряды взаимодействуют с магнитными полями через силу Лоренца. Частица с зарядом \( q \), движущаяся со скоростью \( v \), испытывает силу \( F \), определяемую выражением:

\[ F = q(v \times B) \]

Сила Лоренца всегда перпендикулярна как направлению магнитного поля, так и направлению движения частицы. Она заставляет частицы двигаться по круговым траекториям или по спиралям в магнитных полях.

2.3.3.1. Движение в однородном магнитном поле

Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в однородном магнитном поле \( B \), направленном вдоль оси \( z \). Если начальная скорость частицы перпендикулярна полю, то она будет двигаться по окружности в плоскости \( xy \).

Радиус этой окружности можно найти из равенства центростремительной силы и силы Лоренца:

\[ \frac{mv^2}{r} = qvB \]

Отсюда радиус \( r \) равен:

\[ r = \frac{mv}{qB} \]

Частица будет двигаться с угловой скоростью \( \omega = \frac{v}{r} = \frac{qB}{m} \), называемой циклотронной частотой.

Если у частицы есть ненулевая компонента скорости вдоль оси \( z \), она будет двигаться по спирали вдоль оси \( z \) с постоянной скоростью.

2.3.4. Закон Ампера

Закон Ампера является магнитостатическим аналогом закона Гаусса для электрических полей. Он связывает циркуляцию магнитного поля с токами, создающими это поле.

\[ \oint_C B \cdot dl = \mu_0 I \]

где \( I \) — это ток, проходящий через контур \( C \).

2.3.4.1. Пример (Бесконечный провод)

Для бесконечного прямолинейного провода с током \( I \), применяя закон Ампера к окружности радиуса \( r \), получаем:

\[ B(2\pi r) = \mu_0 I \]

Отсюда магнитное поле:

\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

Это совпадает с результатом, полученным из закона Био-Савара-Лапласа.